Integración parcial.
Como primer acercamiento al proceso de integración múltiple se ha de considerar el proceso de integración parcial de una función. Ya se sabe cómo obtener la derivada parcial de una función en dos o más variables, al considerar constantes todas las variables exceptuando aquella con respecto a la cual se está derivando. De manera análoga el concepto puede extenderse a la integración de funciones de varias variables en forma simple, por ejemplo, dada \(f_x\left(x,y\right)=6x^2y\), al considerar la variable ye, como una constante es posible integral de manera parcial con respecto de \(x\) como sigue.
\begin{align}
&f(x,y)=\int{f_x\left(x,y\right)dx}\\
&f(x,y)=\int{6x^2ydx}\\
&f(x,y)=6\left(\frac{x^3}{3}\right)y+c\left(y\right)\\
&f(x,y)=2x^3y+c\left(y\right)\end{align}
donde la constante de integración \(c(y)\) es una función en la variable ye, por lo que la función \(f\left(x,y\right)\) obtenida por ahora, es una función parcial y se hace necesario analizar alguna otra condición para determinar \(c\left(y\right)\), lo cual se estudia más adelante. También es posible para una función \(f_y\left(x,y\right)\) integral con respecto de ye, manteniendo la variable \(x\) constante, ambas formas de integración se resumen como,
Integración parcial
\begin{align} &\int_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}{f_x\left(x,y\right)dx}=\left.f(x,y)\right|_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}\\ &\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}{f_y\left(x,y\right)dy}=\left.f(x,y)\right|_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}\end{align} Donde la variable de integración no puede estar contenida en los límites de integración para evitar caer en bucles. Así al integral con respecto de equis los límites de integración solo pueden contener la variable ye (que es constante) y al integral con respecto de ye los límites de integración solo pueden contener la variable equis.